Réponse :
2) a) en utilisant la valeur connue de cos π/4, vérifier que
cos π/8 = 1/2√(2 + √2)
cos (2 x) = 2 cos² (x) - 1 ⇔ 2 cos² (x) = 1 + cos(2 x) ⇔ cos² (x) = (1+ cos(2 x))/2 ⇒ cos (x) = √[(1+cos(2 x))/2]
comme x = π/8 ⇒ 2 x = 2*π/8 = π/4
Donc cos π/8 = √( 1 + cos π/4)/2 or cos π/4 = √2/2
⇒ cos π/8 = √(1 + √2/2)/2 = √[(2+√2)/4] = 1/2 √(2+√2)
en déduire la valeur exacte de sin π/8
sin π/8 = √[(1 - sin π/4)/2] or sin π/4 = √2/2
sin π/8 = √(1 - √2/2)/4 = 1/2√(2 -√2)
2) b) calculer les valeurs exactes de cos π/12 et sin π/12
π/12 = π/4 - π/6
cos π/12 = cos(π/4 - π/6)
en utilise la formule d'addition ⇒ cos(a - b) = cos (a)cos(b) + sin (a) sin(b)
cos(π/4 - π/6) = cos π/4 cos π/6 + sin π/4 sin π/6
on sait que cos π/4 = sin π/4 = √2/2
cos π/6 = √3/2 et sin π/6 = 1/2
on remplace ces valeurs dans :
cos π/12 = √2/2 * √3/2 + √2/2 * 1/2
= √6/4 + √2/4
= 1/4(√2 + √6)
sin (a - b) = sin (a) cos(b) - cos (a) sin(b)
= sin π/4 cos π/6 - cos π/4 sin π/6
= √2/2 * √3/2 - √2/2 *1/2
= √6/4 - √2/4
= 1/4(√6 - √2)
Explications étape par étape
