Bonjour,
1) AD² = AD.AD
= (AB + BD)(AB + BD)
= AB² + AB.BD + BD.AB + BD²
= AB² + 2AB.BD + BD² (u.v = v.u)
= AB² - 2BA.BA + BD²
= AB² - 2 x BH x BD + BD² (H étant le projeté de A sur (BD))
= AB² - 2 x 1/4 x BD x BD + BD²
= AB² + 1/2 x BD²
2) BA.BD
= BH x BD
= 1/4 x BD x BD
= 1/4 x BD² (erreur d'énoncé...)
La question serait plutôt : DA.DB = DH.DB = 3/4 x BD²
3) BD = 4 et AB = √10
a) d'après 1) : AD² = AB² + 1/2 x BD²
Soit : AD² = 10 + 1/4 x 16 = 14 ⇒ AD = √14
b)
cos(ADB) = DA.DB/||DA||x||DB||
= (3/4 x BD²)/ADxBD
= (3/4 x 16)/√14 x 4
= 12/4√14
= 3/√14
(≈ 0,801... soit ADB ≈ 36,7°)
