Bonsoir,
On a f(x) = -1/2 (x - 2)² - 1
•1) On a la forme canonique de la fonction f de la forme f(x) = a(x - alpha) + bêta avec les coordonnées de l'extremum (alpha ; bêta).
Puisqu'on a : a = -1/2 < 0, alors la courbe est de la forme d'un U à l'envers.
Donc la fonction f est :
• croissante entre ]-∞;2[
• décroissante entre ]2;+∞[
• les coordonnées du maximum (2;-1)
Oui on peut factoriser f : f(x) = -1/2 (x - 2)² - 1, on a (x - 2)² - 1² est une identité remarquable de la forme a² - b² = (a - b)(a + b)
•2) On a : f(x) = x² - 4x + 3
(x - 3)(x - 1) = x² - x - 3x + 3 = x² - 4x + 3
Donc f(x) = (x - 3)(x - 1).
D'après la question précédente on peut en conclure que (x - 2)² - 1 = (x - 3)(x - 1).
On a alors la forme factorisée de f(x) = -1/2 (x - 2)² - 1 qui est :
f(x) = -1/2 (x - 3)(x - 1)
•3) f(x) = -2(x - 3)² + 2
1) Forme développée de f(x) :
f(x) = -2(x - 3)² + 2
f(x) = -2(x² - 6x + 9) + 2
f(x) = -2x² + 12x - 18 + 2
f(x) = -2x² + 12x - 16
2) Forme factorisée de f(x) :
f(x) = -2x² + 12x - 16
∆ = b² - 4ac
∆ = 12² - 4×(-2)×(-16)
∆ = 16 > 0
Donc il y a 2 racines :
x1 = (-b-√∆)/2a
x1 = (-12-√16)/(2×(-2))
x1 = (-16)/-4
x1 = 4
x2 = (-b+√∆)/2a
x2 = (-12+√16)/(2×(-2))
x2 = (-8)/(-4)
x2 = 2
Forme factorisée d'un polynôme du second degré : a(x - x1)(x - x2)
Donc on a : f(x) = -2(x - 4)(x - 2)
3)a• f(0) = -2×0² + 12×0 - 16
f(0) = -16
La courbe P coupe l'axe des ordonnées au point (0;-16)
3)b• f(x) = 0
-2(x - 4)(x - 2) = 0 produit nul
Donc on a :
• soit x - 4 = 0 donc x = 4
• soit x - 2 = 0 donc x = 2
3)c• Puisque a = -2 < 0, alors la courbe est en forme d'un U à l'envers, elle est :
• croissante entre ]-∞;3[
• décroissante entre ]3;+∞[
3)d• f(x) = -2(x - 3)² + 2
Son maximum est 2 atteint pour x = 3.
Voir la pièce jointe pour la représentation graphique des courbes.
