Réponse : Bonsoir,
1) [tex]u_{0}=0, u_{1}=\frac{1}{2}, u_{2}=1, u_{3}=\frac{9}{8}[/tex].
La suite semble donc être croissante.
2)[tex]u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+1}}-\frac{n^{2}}{2^{n}}=\frac{(n+1)^{2}-2n^{2}}{2^{n+1}}=\frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}}{2^{n+1}}=\frac{-n^{2}+2n+1}{2^{n+1}}[/tex].
3) Pour étudier le signe de ce trinôme, on calcule son discriminant:
[tex]\Delta=2^{2}-4 \times (-1) \times 1=4+4=8 >0[/tex].
Le discriminant est strictement positif, donc le signe de ce trinôme est du signe de -1, donc négatif à l'extérieur de ses racines [tex]x_{1}, x_{2}[/tex], qui sont:
[tex]x_{1}=\frac{-2-\sqrt{8}}{-2} \quad x_{2}=\frac{-2+\sqrt{8}}{-2}\\x_{1}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2} \quad x_{2}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}\\x_{1}=1+\sqrt{2} \quad x_{2}=1-\sqrt{2}[/tex].
On ne considère que [tex]x_{1}[/tex], car [tex]x_{2} < 0[/tex]:
x 0 [tex]x_{1}[/tex] +∞
-x²+2x+1 + Ф -
4) Pour tout entier naturel n, [tex]2^{n+1} >0[/tex], donc [tex]u_{n+1}-u_{n}[/tex], est du signe de [tex]-n^{2}+2n+1[/tex], et puisque [tex]-n^{2}+2n+1[/tex], n'est pas monotone, elle est d'abord croissante puis décroissante.
Donc on infirme la conjecture du 1), qui semblait dire que la suite est croissante. En effet, cette suite est d'abord croissante, puis décroissante.
