Réponse : Bonjour,
1) On calcule d'abord un argument de 1-i. Si [tex]\theta'[/tex] est un argument de 1-i, alors:
[tex]\cos(\theta')=\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \sin(\theta')=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\cos(\theta')=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \sin(\theta')=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
Donc [tex]\theta'=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex].
On calcule ensuite un argument de [tex]\sin(\theta)+i\cos(\theta)[/tex].
Si [tex]\theta''[/tex] est un argument de ce nombre complexe, alors:
[tex]\cos(\theta'')=\frac{\sin(\theta)}{1} \quad \sin(\theta'')=\frac{\cos(\theta)}{1}\\\cos(\theta'')=\sin(\theta) \quad \sin(\theta'')=\cos(\theta)[/tex]
On résout d'abord la première équation [tex]\cos(\theta'')=\sin(\theta)[/tex]:
[tex]\cos(\theta'')=\sin(\theta)\\\cos(\theta'')=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)\\\theta''=\frac{\pi}{2}-\theta+2k\pi \quad ou \quad \theta''=-(\frac{\pi}{2}-\theta)+2k\pi[/tex].
De la première solution de [tex]\theta''[/tex], on reconnait le "[tex]-\theta[/tex]", de la proposition de l'énoncé, de l'autre solution on aura +[tex]\theta[/tex]", donc on renonce à cette solution.
On calcule un argument du nombre complexe Z, en prenant [tex]\theta''=\frac{\pi}{2}-\theta[/tex], puis [tex]\theta'=-\frac{\pi}{4}[/tex], issu du nombre complexe 1-i.
On a donc:
[tex]\arg(Z)=\arg((1-i)(\sin(\theta)+i\cos(\theta))=\arg(1-i)+\arg(\sin(\theta)+i\cos(\theta))=\theta'+\theta''=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{-\pi+2\pi}{4}-\theta=\frac{\pi}{4}-\theta[/tex].
Donc un argument de Z est [tex]\frac{\pi}{4}-\theta[/tex].
Donc la proposition est vraie.
2) En posant [tex]z=x+iy[/tex], on a:
[tex]|iz-3|=|\overline{z}+i|\\|i(x+iy)-3|=|x-iy+i|\\|ix-y-3|=|x+(1-y)i|\\\sqrt{(-y-3)^{2}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}+(1-y)^{2}}\\\left(\sqrt{(-y-3)^{2}+x^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+(1-y)^{2}}\right)^{2}\\(-y-3)^{2}+x^{2}=x^{2}+(1-y)^{2}\\y^{2}-2 \times (-y) \times 3+x^{2}=x^{2}+1-2y+y^{2}\\y^{2}+6y+x^{2}=x^{2}+1-2y+y^{2}\\8y=1\\y=\frac{1}{8}[/tex].
Donc l'ensemble solution est l'ensemble des points [tex]\left\{(x;y)/ \;y=\frac{1}{8}\right\}[/tex], c'est donc la droite d'équation [tex]y=\frac{1}{8}[/tex].
La proposition est donc vraie.
