1. g(x)=[tex]∈[/tex]
[tex]\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^2-2+1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-2}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}[/tex]
[tex]\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2+1}=\frac{2x^2}{x^2+1}-\frac{x^2+1}{x^2+1}=\frac{2x^2}{x^2+1} -1[/tex]
2.
[tex]\frac{x^2-1}{x^2+1}=0 <=> x^2-1=0 <=> x^2=1 <=>[/tex] x∈{-1, 1}
[tex]\frac{x^2-1}{x^2+1}<1 <=> \frac{x^2-1}{x^2+1}-1<0 <=> \frac{x^2-1-x^2-1}{x^2+1}<0\\<=>\frac{-2}{x^2+1}<0[/tex], qui est vrai parce que [tex]x^2+1[/tex] est toujours plus grand que 0, pour tout réel x, et, la division entre une expression négative (-2) et une expression positive ([tex]x^2+1[/tex] ) est toujours négative.
[tex]\frac{x^2-1}{x^2+1}\geq-1 <=> \frac{x^2-1}{x^2+1}+1\geq0 <=> \frac{x^2-1+x^2+1}{x^2+1}\geq0 <=> \frac{2x^2}{x^2+1}\geq0[/tex]. On va vérifier si la expression est ou non plus grand ou égal à 0:
x |-∞ ∞
2x^2 | + + +
x^2+1 |+ + +
_____|_________________________
g(x)+1 | +++++++++++++++++++++++++++
Comme nous pouvons voir, le signe de g(x)+1 est positive, ce-la signifie que g(x)+1≥0 <=> g(x)≥-1.
