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MAROUANE4142VIZ
résolu

Un triplet (a ; b ; c) est appelé Triplet Pythagoricien, si les 3 nombres a, b et c sont entiers, positifs et vérifient la relation suivante : a2 + b2 = c2.

On considère les nombres suivants, imaginés par le mathématicien grec Euclide (environ 300 av. J.C.) : a = m2 – n2. b = 2mn, et c = m2 + n2. avec m et n deux entiers naturels non nuls (m > n)

1/ a. Calculer les nombres a, b et c pour : m = 2 et n = 1.

b. Les nombres ainsi obtenus forment-ils un triplet pythagoricien ?

2/ Mêmes questions avec : m = 3 et n = 2.

3/ Mêmes questions avec : m = 5 et n = 3.

4/ Remarque : On peut fabriquer une infinité de triplets pythagoriciens avec les nombres imaginés par Euclide. Déterminer, de cette manière, deux autres triplets pythagoriciens.

5/ Montrer que les nombres imaginés par Euclide forment un triplet pythagoricien.

Une démonstration générale est attendue ; on ne traitera pas simplement un exemple !

6/ a. Montrer que, si un triplet est pythagoricien, alors tout triplet qui lui proportionnel est pythagoricien.

b. Quelle interprétation géométrique peut-on faire au sujet de la question précédente ?

Si quelqu'un pouvais m'aider svp, j'y arrive pas :/

Répondre :

CAYLUSVIZ

Réponse :

Bonsoir,

1)

[tex]a)\\a=m^2-n^2\\b=2mn\\c=m^2+n^2\\m=2\ et\ n=1\\a=2^-1^2=4-1=3\\b=2*2*1=4\\c=2^2+1^2=4+1=5\\b)\\3^2+4^2=9+16=25=5^2\ donc\ oui.[/tex]

2)

[tex]a=3^2-2^2=9-4=5\\b=2*3*2=12\\c=3^2+2^2=9+4=13\\5^2+12^2=25+144=169=13^2\\donc\ oui.\\[/tex]

3)

[tex]a=5^2-3^2=25-9=16\\b=2*5*3=30\\c=5^2+3^2=25+9=34\\\\16^2+30^2=256+900=1156=34^2\\donc\ oui\\[/tex]

4) m=3 et n=1

m=4 et n=1

Je te laisse faire les calcules.

5)

[tex]a=m^2-n^2\\b=2mn\\c=m^2+n^2\\a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2\\=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2\\=m^4+2m^2n^2+n^4\\=(m^2+n^2)^2\\[/tex]

6)

a)

[tex]a^2+b^2=c^2\\Soit \\d=k*a\\\\e=k*b\\f=k*c\\d^2+e^2\\=(ka)^2+(kb)^2\\=k^2a^2+k^2b^2\\=k^2*(a^2+b^2)\\=k^2*c^2\\=(kc)^2\\=f^2\\[/tex]

(a,b,c) étant un triplet pythagoricien , (ka,kb,kc) est un triplet pythagoricien .

b)

L'image d'un triangle rectangle par une homothétie positive est un triangle rectangle.

Explications étape par étape

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