Réponse :
Bonsoir,
[tex]u_0=1600\\u_1=0.9*u_0+100\\u_2=0.9*u_1+100\\\\u_{n+1}=0.9*u_n+100\\[/tex]
Recherche de la limite de
[tex](u_n)\\Soit\ x\ cette\ limite\\x=0.9*x+100\\0.1*x=100\\x=1000\\Il\ faut\ donc\ poser\ \\v_n=u_n-1000\\v_{n+1}=u_{n+1}-1000\\=0.9*u_n+100-1000\\=0.9**u_n-900\\=0.9*(u_n-1000)\\=0.9*v_n\\\textrm{ la suite v est donc g\' eom\' etrique de raison 0.9 et de valeur initiale}\\v_0=u_0-1000\\=1600-1000\\=600\\\\v_n=600*0.9^n\\\\\\u_n=v_n+1000\\\\\boxed{u_n=600*0.9^n+1000}\\[/tex]
La population passera t elle sous la barre des 1100 serpents ?
[tex]600*0.9^n+1000 < 1100\\\\600*0.9^n < 100\\\\0.9^n < \dfrac{1}{6} \\n*ln(0.9) < ln(\dfrac{1}{6})\\\\n > \dfrac{ln(\dfrac{1}{6})}{ln(0.9)} \\\\n > 17.005986\\[/tex]
Au cours de la 17è année (2018+17=2035) la population des serpents sera sous la barre des 1100.
sous la barre des 1000
Comme une exponentielle est toujours positive,
[tex]0.9^n > 0\\600*0.9^n > 0\\600*0.9^n+1000 > 1000\\[/tex]
(donc impossible)
Explications étape par étape
