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Réponse : Bonjour,
On cherche une équation de la tangente à f parallèle à la droite d'équation 2x-y=0, donc y=2x.
La tangente à f est parallèle à y=2x, si elle a le même coefficient directeur, dons il faut résoudre l'équation f'(x)=2.
Calculons d'abord f'(x):
[tex]f'(x)=4 \times \frac{1}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}[/tex].
On résout maintenant l'équation f'(x)=2:
[tex]f'(x)=2\\\frac{2}{\sqrt{4x+5}}=2\\2\sqrt{4x+5}=2\\\sqrt{4x+5}=1\\(\sqrt{4x+5})^{2}=1^{2}\\4x+5=1\\4x=-4\\x=-1[/tex].
Donc au point d'abscisse -1, la tangente à f est parallèle à la droite d'équation y=2x.
Et cette tangente a pour équation:
[tex]y=f'(-1)(x+1)+f(-1)\\y=\frac{2}{\sqrt{4 \times -1+5}}(x+1)+\sqrt{4 \times -1+5}\\y=2(x+1)+1\\y=2x+2+1\\y=2x+3[/tex].
Donc la tangente à f qui est parallèle à la droite d'équation y=2x a pour équation y=2x+3.
Réponse :
l' équation de la Tangente en T (-1 ; +1)
est bien y = 2x + 3
Explications étape par étape :
■ f(x) = √(4x+5)
■ il faut 4x+5 ≥ 0 donc x ≥ -1,25 .
■ dérivée f ' (x) = 0,5 * 4 / √(4x+5)
= 2 / √(4x+5)
toujours positive donc f est toujours croissante !
■ on veut une tangente parallèle à la droite
d' équation y = 2 x
donc on veut f ' (x) = 2 qui donne √(4x+5) = 1
donc 4x+5 = 1 d' où x = -1 .
■ la courbe associée à la fonction f
passe par le point (-1 ; +1) .
■ tableau :
x --> -1,25 -1 0 2,75 5
f'(x) -> ║ 2 0,89 0,5 0,2
f(x) --> 0 +1 2,24 4 5
■ conclusion :
l' équation de la Tangente en T (-1 ; +1)
est bien y = 2x + 3 .
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