Bonjour ;
1.
Soient x et y les dimensions du rectangle ;
donc son aire est : xy = 16 ;
donc : y = 16/x .
Le périmètre du rectangle est : 2(x + y) = 2(x + 16/x) ;
donc : p(x) = 2(x + 16/x) .
2.
On a : p'(x) = 2(1 - 16/x²) = 2 - 32/x² = (2x² - 32)/x²
= 2/x² (x² - 16) = 2/x² (x - 4)(x + 4) .
Pour x ∈ ]0 ; 4[ , p'(x) < 0 ,
donc p est strictement décroissante sur ]0 ; 4[ .
Pour x ∈ ]4 ; + ∞[ , p'(x) > 0 ,
donc p est strictement croissante sur ]4 ; + ∞[ .
Pour x = 4 ; on a p '(x) = 0 ,
donc p(4) = 16 est un extremum de p .
3.
La fonction p' est strictement décroissante sur ]0 ; 4[ ;
strictement croissante sur ]4 ; + ∞[ ;
et s'annule pour x = 4 où elle admet un extremum ;
donc cet extremum est un minimum .
4.
On a : p(x) - 2x = 2(x + 16/x) - 2x = 16/x ;
donc pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ , p(x) - 2x > 0 ;
donc pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ , p(x) > 2x ;
donc pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ le courbe C est au-dessus de
la droite d'équation réduite : y = 2x .
