Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
Factorisation d’un polynôme du 3e degré :
On considère le polynôme P(x) = x^3-7x+6. L’objet de l’exercice est de le factoriser.
1) montrez que x=1 est une racine de P(x)
P(1) = 1^3 - 7 * 1 + 6
P(1) = 1 - 7 + 6
P(1) = 0
2) on admet alors que P(x) peut se factoriser par (x-1) et que P(x) peut alors s’écrire P(x) = (x-1) * Q(x) où Q(x) est un polynôme du second degré. Ainsi :
P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) (E)
a) Développer (E) et en déduire Q(x)
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c
P(x) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c
a = 1
b - a = 0 => b = a = 1
c - b = -7 => c = b - 7 = 1 - 7 = -6
-c = 6 => c = -6
Q(x) = x^2 + x - 6
b) Factoriser Q(x) et en déduire que P(x) = (x-1)(x-2)(x+3).
Q(x) = x^2 + 2 * x * 1/2 + (1/2)^2 - (1/2)^2 - 6
Q(x) = (x + 1/2)^2 - 1/4 - 24/4
Q(x) = (x + 1/2)^2 - 25/4
Q(x) = (x + 1/2)^2 - (5/2)^2
Q(x) = (x + 1/2 - 5/2)(x + 1/2 + 5/2)
Q(x) = (x - 4/2)(x + 6/2)
Q(x) = (x - 2)(x + 3)
P(x) = (x - 1)Q(x)
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)
c) interprétez graphiquement la question b.
A toi de jouer, mais normalement tu devrais trouver qu’il y a 3 solutions pour de polynômes : 1 ; 2 et -3
