Réponse :
f(x) = - x² - 4 x + 7
1) prouver que f(x) = - (x + 2)² + 11 pour tout réel x
f(x) = - x² - 4 x + 7 peut s'écrire sous la forme canonique
f(x) = a(x - α)² + β
a = - 1
α = - b/2a = 4/- 2 = - 2
β = f(α) = f(-2) = - (-2)² - 4(-2) + 7
= - 4 + 8 + 7 = 11
β = 11
donc f(x) = a(x -α) + β
= - (x -(- 2))² + 11
= - (x + 2)² + 11
Donc on a bien f(x) = - (x+2)² + 11
2) résoudre algébriquement f(x) = 7 et f(x) = 12
pour f(x) = 7 ; on utilise l'expression développée de f(x)
f(x) = - x² - 4 x + 7 = 7 ⇔ - x² - 4 x = 0 ⇔ x(- x - 4) ⇒ x = 0 ou - x - 4 = 0
⇒ x = - 4
pour f(x) = 12 ; on utilise la forme développée de f(x)
f(x) = - x² - 4 x + 7 = 12
= - x² - 4 x - 5 = 0 ⇔ -(x² + 4 x + 5) = 0
Δ = 16 - 20 = - 4 < 0 pas de solutions dans R
3) décrire les variations de f. Les démontrer
f(x) = - (x + 2)² + 11
le sommet de la parabole a pour coordonnées S(- 2 ; 11)
entre l'intervalle ]- ∞ ; - 2] ⇒ la fonction f est croissante
entre [- 2 ; + ∞[ ⇒ la fonction est décroissante
x - ∞ - 2 + ∞
f(x) - ∞ →→→→→→→→→ 11 →→→→→→→→→ - ∞
croissante décroissante
Explications étape par étape
