Réponse : Bonjour,
Pour étudier le sens de variation de g, on calcule la fonction dérivée g':
[tex]g'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=\frac{1-1-x}{1+x}=\frac{-x}{1+x}[/tex].
On a le tableau suivant:
x 0 +∞
-x Ф -
(1+x) +
g'(x) Ф -
Donc [tex]g'(x) \leq 0[/tex], pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex], donc la fonction g est décroissante sur [tex][0;+\infty[[/tex].
2) Comme g est décroissante sur [tex][0;+\infty[[/tex], on en déduit que pour tout [tex]x \in [0;+\infty[, g(x) \leq g(0)[/tex].
Or [tex]g(0)=\ln(1+0)-0=\ln(1)=0[/tex], d'où [tex]g(x) \leq 0[/tex], pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex], et donc:
[tex]g(x) \leq 0\\\ln(1+x)-x \leq 0\\\ln(1+x) \leq x[/tex].
Donc pour tout x positif ou nul, [tex]\ln(1+x) \leq x[/tex], donc pour tout a positif ou nul, [tex]\ln(1+a) \leq a[/tex].
