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1) développer (x-3)(-3 x -1)
(x-3)(-3 x -1) = - 3 x² + 8 x + 3
2) étudier la fonction f définie sur [-2 ; 5] par f(x) = (3 x - 4)/(x²+ 1)
calculons la dérivée f '(x) = (u/v) ' = (u'v - v'u)/v²
u = 3 x - 4 ⇒ u' = 3
v = x²+ 1 ⇒ v' = 2 x
f '(x) = [3(x²+1) - 2 x(3 x - 4)]/(x²+1)²
= (3 x² + 3 - 6 x² + 8 x)/(x²+1)²
= (- 3 x² + 8 x + 3)/(x²+1)²
or (x - 3)(- 3 x - 1) = - 3 x² + 8 x + 3
f' (x) = (x - 3)(-3 x -1)/(x²+ 1)²
étudions le signe de f' (x) ; (x²+1)² > 0 donc le signe de f'(x) du signe de
(x-3)(-3 x - 1) ⇒ x = 3 ; x = - 1/3
x - 2 - 1/3 3 5
x-3 - - 0 +
- 3 x - 1 + 0 - -
f '(x) - 0 + 0 -
Tableau de variation de f
x - 2 - 1/3 3 5
f(x) - 2 →→→→→→→→→→→ - 18/7 →→→→→→→→→ 1/2 →→→→→→→→→→ 11/26
décroissante croissante décroissante
3) déterminer les valeurs de x tel que f(x) = - 4
f(x) = 3 x - 4)/(x²+1) = - 4 ⇔ 3 x - 4 = - 4(x²+1) ⇔3 x - 4 = - 4 x² - 4
⇔ 4 x²+ 3 x = 0 ⇔ x(4 x +3) = 0 ⇒ x = 0 ou x = - 3/4
4) déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 1
y = f(1) + f'(1)(x-1)
f(1) = - 1/2
f'(1) = 2
y = - 1/2 + 2(x-1)
= - 1/2 + 2 x - 2
= 2 x - 5/2
Explications étape par étape
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