A(1;4), B(-1;-1), C(5;0) et M(7/3;8/3).
a)
déterminer les coordonnées de K
milieu de AB
A(1;4), B(-1;-1)
formule : demi-somme des abscisses et demi-somme des ordonnées
abscisse K = [1 + (-1)] / 2 = 0 ordonnée K = (4 - 1) / 2 = 1,5
K(0 ; 1,5)
b)
montrer que A, M et C sont alignés A(1 ; 4) M(7/3;8/3) C(5 ; 0)
vect AC = (5 - 1)i + (0 - 4)j = 4i - 4j
vect AM = (7/3 - 1)i + (8/3 - 4)j = (4/3)i +(-4/3)j
= 1/3(4i - 4j)
= 1/3 vect AC
vect AM = 1/3 vect AC
Les vecteurs AM et AC sont colinéaires. Les droites AM et AC sont parallèles. Elles ont en commun le point A, elles sont confondues et les points A, M et C sont alignés.
c)
déterminer les coordonnées de D : D est le point tel qu'ABCD soit un parallélogramme.
A(1;4) ; B(-1;-1) ; C(5;0) ; D(x ; y)
coordonnées vecteur AB : (-1-1 = -2 et -1-4 = -5) AB(-2; -5)
coordonnées vecteur DC : (5 - x et 0 - y) DC(5 -x ; -y)
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = CD
soit 5 -x = -2 et -y = -5
x = 7 et y = 5
réponse D(7 ; 5)
d)
montrer que K, M et D sont alignés
K(0 ; 3/2) M(7/3 ; 8/3) D(7 ; 5)
vect MK : (0 - 7/3 ; 3/2 - 8/3) vect MK (-7/3 ; -7/6)
vect DK : (0 -7 ; 3/2 - 5) vect DK (-7 ; -7/2)
MK = (-7/3)i - (7/6)j = 1/3[-7i - (7/2)j] = (1/3)DK
le vecteur MK est le tiers du vecteur DK, ces vecteurs sont colinéaires et on conclut à l'alignement des points comme dans la question qui précède.
remarque (démonstration géométrique)
on a vu AM = (1/3)AC si on appelle I le centre du parallélogramme
AM = (1/3)(2AI)
AM = (2/3)AI
dans le triangle ABD, le point M est sur la médiane AI à 2/3 du sommet, c'est le centre de gravité du triangle. La droite DK est une seconde médiane, elle passe par K
