Réponse : Réponse : Bonjour,
1) [tex]a=\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{6}} \Rightarrow a^{6}=(2^{\frac{1}{2}}e^{i \frac{\pi}{6}})^{6}=2^{3}e^{i \pi}=8(\cos(\pi)+i \sin(\pi))=8(-1+0)=-8\\b=\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}} \Rightarrow b^{6}=(2^{\frac{1}{2}}e^{i \frac{\pi}{4}})^{6}=2^{3}e^{i \frac{3\pi}{2}}=8(\cos(\frac{3\pi}{2})+i \sin(\frac{3\pi}{2}))=8(0-i)=-8i\\c=\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{3}} \Rightarrow c^{6}=(2^{\frac{1}{2}}e^{i \frac{\pi}{3}})^{6}=2^{3}e^{i 2\pi}=8(\cos(2\pi)+i \sin(2\pi))=8(1+0)=8[/tex].
2) [tex]b^{6}=-8i[/tex], donc [tex]b[/tex] est une solution de l'équation (E): [tex]z^{6}=-8i[/tex].
3) a) On calcule la forme exponentielle de j.
On calcule d'abord le module de j:
[tex]|j|=\left|-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1[/tex]
On calcule ensuite un argument de j:
[tex]Si \; \theta=\arg(j) \; alors:\\\cos(\theta)=\frac{-\frac{1}{2}}{1}=-\frac{1}{2} \quad \sin(\theta)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\Donc \; \theta=\frac{2\pi}{3}[/tex].
Donc [tex]j=e^{i \frac{2\pi}{3}[/tex] et donc:
[tex]j^{3}=(e^{i \frac{2\pi}{3}})^{3}=e^{i 2\pi}=\cos(2\pi)+i \sin(2\pi)=1+0=1[/tex].
b) On démontre d'abord que [tex]jb[/tex] est aussi une solution de (E):
[tex](jb)^{6}=j^{6}b^{6}=j^{3}j^{3}b^{6}=1 \times 1 \times -8i=-8i[/tex].
Donc [tex]jb[/tex] est une solution de (E).
On démontre ensuite que [tex]j^{2}b[/tex] est aussi une solution de (E):
[tex](j^{2}b)^{6}=j^{12}b^{6}=(j^{3})^{4}b^{6}=1^{4}b^{6}=b^{6}=-8i[/tex].
Donc [tex]j^{2}b[/tex] est aussi une solution de (E).
c) Les solutions de (E) sont donc:
[tex]S=\left\{ j^{3k}b, j^{3k+1}b, j^{3k+2}b / k \in \mathbb{Z}\right\}[/tex].
Leur écriture sous forme est:
[tex]j^{3k+1}b=j^{3k}jb=jb=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i \sin(\frac{\pi}{4}))\\=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}))=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(1+i)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+i\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}+(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}) i\\j^{3k+2}b=j^{3k}j^{2}b=j^{2}b=(e^{i \frac{2\pi}{3}})^{2}b=e^{i \frac{4\pi}{3}}b[/tex].
(suite)
[tex]j^{3k+2}b=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})(1+i)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i-i\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Les solutions de (E) sont donc:
[tex]S=\left\{1+i;\frac{-1-\sqrt{3}}{2}+(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}) i;\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+(\frac{-1-\sqrt{3}}{2})i \right\}[/tex]
