Réponse : Bonjour,
Les points A, X et C sont alignés donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AX}[/tex] et [tex]\overrightarrow{XC}[/tex], sont colinéaires.
Calculons les coordonnées de ces deux vecteurs:
[tex]\overrightarrow{AX}(4-1;4-3)=(3;1)\\\overrightarrow{XC}(x-4;y-4)[/tex] en notant C(x;y) les coordonnées du point C.
Puisque ces deux vecteurs sont colinéaires alors:
[tex]3(y-4)-(x-4) \times 1=0\\3y-12-x+4=0\\3y-x-8=0\\3y=x+8\\y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}[/tex].
Puisque le triangle est rectangle en B, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont orthogonaux.
On calcule les coordonnées de ces deux vecteurs:[tex]\overrightarrow{AB}(5-1;11-3)=(4;8)\\\overrightarrow{BC}(x-5;y-11)[/tex].
On calcule le produit scalaire et celui-ci est nul, puisque les deux vecteurs sont orthogonaux:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=4(x-5)+8(y-11)=0\\4x-20+8y-88=0\\4x+8y-108=0\\8y=-4x+108\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{108}{8}=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}[/tex].
Nous obtenons un système de deux équations à deux inconnues x et y, qui sont les coordonnées du point C:
[tex]\left \{ {{y=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}} \atop {y=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}}} \right.[/tex].
On résout donc l'équation:
[tex]\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}\\\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x=\frac{27}{2}-\frac{8}{3}\\\frac{2+3}{6}x=\frac{81-16}{6}\\\frac{5}{6}x=\frac{65}{6}\\x=\frac{65}{6} \times \frac{6}{5}=13[/tex].
On calcule enfin y en utilisant l'une des deux équations du système, on choisit la première équation:
[tex]\frac{1}{3} \times 13+\frac{8}{3}=\frac{13}{3}+\frac{8}{3}=\frac{21}{3}=7[/tex].
Donc C(13;7).
On est donc en mesure de calculer l'équation de la droite (BC):
[tex]a=\frac{7-11}{13-5}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}[/tex]
Le point B appartient à la droite (BC), donc:
[tex]11=-\frac{1}{2} \times 5+b\\b=11+\frac{5}{2}=\frac{22+5}{2}=\frac{27}{2}[/tex].
Donc l'équation de (BC) est [tex]y=-\frac{1}{2}x+\frac{27}{2}[/tex].
