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Réponse :
(Un) : U₀ = 1 Un+1 = 9/(6 - Un)
1) cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?
U₀ = 1
U₁ = 9/5
U₂ = 9/(6-9/5) = 9x 5/ 21 = 15/7
U₃ = 9/(6 - 15/7) = 7/3
U₁ - U₀ = 9/5 - 1 = 4/5
U₂ - U₁ = ₁₁15/7 - 9/5 = 5 x 15 - 7 x 9)/35 = 12/35
(Un) n'est pas une suite arithmétique
U₁/U₀ = 9/5
U₂/U₁ = 15/7/9/5 = 25/21
U₃/U₂ = 7/3/15/7 = 49/45
(Un) n'est pas aussi une suite géométrique
2) Vn = 1/Un - 3
démontrer que la suite (Vn) est arithmétique et donne sa raison
Vn+1 - Vn = 1/(Un+1 - 3) - 1/Un-3
= 1/(9/(6-Un) - 3) - 1/Un-3
= (6 - Un)/3Un-9 - 1/Un-3
= 6 - Un - 3)/3(Un - 3)
= - (Un - 3)/3(Un-3) = - 1/3
La suite (Vn) est donc arithmétique de raison r = - 1/3
3) en déduire l'expression de (Vn) et de (Un)
puisque (Vn) est une suite arithmétique donc Vn = V₀ + n r
Vn = - 1/2 - (1/3) n
à partir de Vn = 1/(Un-3) on en déduit Un
Un - 3 = 1/Vn ⇒ Un = 1/(Vn) + 3 = 1/(-1/2 - (1/3) n) + 3 = (- 1/2 - n)/(-1/2 - (1/3)n)
calculer alors U₂₇
U₂₇ = (- 0.5 - 27)/(-0.5 - 9) =-27.5/- 9.5 = 2.89
e) retrouver par le calcul le rang duquel Un dépasse 2.99
au rang n = 300 on a U₃₀₀ = 2.99
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