1)
A = n²(n²-1) est divisible par 12
On montre qu'il est divisible par 4 et par 3)
A = n²(n² -1) = (n - 1) x n x n x (n + 1)
⋇ n - 1 , n et n + 1 sont trois entiers consécutifs. L'un d'eux est un multiple de trois. A est divisible par 3
⋇ si n est pair, chaque facteur n est divisible par 2 et le produit par 4.
si n est impair n - 1 et n + 1 sont pairs, il y a 2 facteurs pairs et A est divisible par 4
2)
B = n² (n⁴ - 1) est divisible par 60
B = n²( n² - 1)(n² + 1)
B = n² ( n - 1)(n + 1)(n² + 1)
On montre qu'il est divisible par 3 par 4 et par 5 : 60 = 3 x 4 x 5
⋇ n² - 1, n² et n² + 1 sont consécutifs B est divisible par 3
⋇ si n est pair n² est divisible par 4
si n est impair n -1 et n + 1 sont pairs => produit divisible par 4
⋇ divisibilité par 5
si n = 5 k c'est bon
si n = 5k + 1 alors n - 1 est divisible par 5
si n = 5k + 2 alors n² + 1 est divisible par 5
si n = 5k + 3 alors n² + 1 est divisible par 5
si n = 5k + 4 alors n + 1 est divisible par 5
3)
C = n(n⁶ - 1) est divisible par 42
on montre qu'il est divisible par 6 et par 7
C = n (n + 1)( n -1)(n⁴ + n² + 1)
⋇ n - 1, n et n + 1 sont consécutifs, le produit est divisible par 2 et par 3 donc par 6
⋇ C = n⁷ - n
d'après le petit théorème de Fermat (pour tout nombre premier p : n^p - n est divisible par p
7 est premier et C est divisible par 7
