Réponse : Bonjour,
1) S est le milieu de [F[tex]H_{0}[/tex]], et le point S a pour coordonnées (0;0) dans le repère (S; SI;SF).
Donc:
[tex]x_{S}=\frac{x_{F}+x_{H_{0}}}{2} \Leftrightarrow 0=\frac{0+x_{H_{0}}}{2} \Leftrightarrow x_{H_{0}}=0\\ y_{S}=\frac{y_{F}+y_{H_{0}}}{2} \Leftrightarrow 0=\frac{1+y_{H_{0}}}{2} \leftrightarrow 1+y_{H_{0}}=0 \Leftrightarrow y_{H_{0}}=-1[/tex].
Soit M(x;y), un point de [tex]\delta[/tex], alors [tex]\overrightarrow{SF}.\overrightarrow{H_{0}M}=0\\(0-0;1-0).(x-0;y+1)=0\\(0;1);(x;y+1)=0\\0 \times x+1 \times (y+1)=0\\0+y+1=0\\y=-1[/tex].
Donc l'équation de [tex]\delta[/tex] dans le repère (S;SI;SF) est y=-1.
2) On suppose que MF=MH, alors:
[tex]MF=MH\\\sqrt{(0-x)^{2}+(1-y)^{2}}=\sqrt{(x-x)^{2}+(-1-y)^{2}}\\ x^{2}+1-2y+y^{2}=0+1-2 \times (-1)\times y+y^{2}\\x^{2}+y^{2}-2y+1=1+2y+y^{2}\\x^{2}-4y=0\\4y=x^{2}\\y=\frac{1}{4}x^{2}[/tex].
Donc si MF=MH, alors [tex]y=\frac{1}{4}x^{2}[/tex].
On suppose maintenant que [tex]y=\frac{1}{4}x^{2}[/tex], démontrons que [tex]MF=MH[/tex].
On a:
[tex]MF=\sqrt{(0-x)^{2}+(1-y)^{2}}=\sqrt{x^{2}+1-2y+y^{2}}\\MH=\sqrt{(x-x)^{2}+(-1-y)^{2}}=\sqrt{1-2 \times (-1) \times y+y^{2}}=\sqrt{1+2y+y^{2}}\\y=\frac{1}{4}x^{2} \Leftrightarrow x^{2}=4y\\MF=\sqrt{4y+1-2y+y^{2}}=\sqrt{1+2y+y^{2}}=MH[/tex].
On a donc montré que si [tex]y=\frac{1}{4}x^{2}[/tex] alors MF=MH.
Par suite, [tex]MF=MH \Leftrightarrow y=\frac{1}{4}x^{2}[/tex].
Partie B
1) On calcule la fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{1}{4} \times 2x=\frac{1}{2}x[/tex].
On a que [tex]f'(x) \geq 0[/tex], sur l'intervalle [0;+∞[ et [tex]f'(x) \leq 0[/tex], sur l'intervalle ]-∞;0], donc f est croissante sur l'intervalle [0;+∞[ et décroissante sur l'intervalle ]-∞;0].
2) L'équation de la tangente [tex]T_{A}[/tex] au point d'abscisse A est:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\y=\frac{a}{2}(x-a)+\frac{a^{2}}{4}\\y=\frac{a}{2}x-\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{4}\\y=\frac{a}{2}x-\frac{a^{2}}{4}[/tex].
3) D'après le cours, comme l'équation cartésienne de [tex]T_{A}[/tex] est [tex]\frac{a}{2}x-y-\frac{a^{2}}{2}=0[/tex], alors un vecteur directeur [tex]\overrightarrow{v}[/tex] de [tex]T_{A}[/tex] est [tex]\overrightarrow{v}(1;\frac{a}{2})[/tex].
Le vecteur [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est normal à [tex]T_{A}[/tex] si et seulement si [tex]\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}=0[/tex]:
[tex]\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}=(1;\frac{a}{2}).(-\frac{a}{2};1)=1 \times -\frac{a}{2}+\frac{a}{2} \times 1=-\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=0[/tex]
Donc le vecteur [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est normal à [tex]T_{A}[/tex].
4) On calcule produit scalaire [tex]\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{n}[/tex]:
[tex]\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{n}=(a-a;\frac{a^{2}}{4}+1).(-\frac{a}{2};1)\\=0 \times -\frac{a}{2}+1 \times (\frac{a^{2}}{4}) =\frac{a^{2}}{4}+1\\[/tex].
[tex]\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{n}=||\overrightarrow{HA}||.||\overrightarrow{n}||.\cos(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{n})\\\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{n}=\sqrt{(\frac{a^{2}}{4}+1)^{2}} \times \sqrt{(-\frac{a}{2})^{2}+1^{2}} \times \cos(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{n})\\\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{n}=(\frac{a^{2}}{4}+1)\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+1}\cos(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{n})[/tex].
[tex]\frac{a^{2}}{4}+1=(\frac{a^{2}}{4}+1)\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+1}\cos(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{n})\\1=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+1}\cos(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{n})\\\cos(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{n})=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+1}}[/tex].
