Réponse :
a) montrer que la somme des aires des triangles SDP et PCQ vaut 6 x - x²
SDP ⇒ A1 = 1/2(x(6 - x) = 3 x - x²/2
PCQ ⇒ A2 = 1/2(x(6 - x)
A1 + A2 = 2 *(3 x - x²/2 = 6 x - x²
b) démontrer en fonction de x les aires des triangles SAR et RBQ
SAR ⇒ A3 = x/2
RBQ ⇒ A4 = 1/2(5(6 - x)) = 15 - 5x/2
c) en déduire que l'aire A(x) de PQRS est A(x) = x² - 4 x + 21
A(x) = 36 -(A1+A2+A3+A4)
= 36 - (3 x - x²/2 + 3 x - x²/2 + x/2 + 15 - 5 x/2)
= 36 - (- x² + 6 x - 2 x + 15)
= 36 -(- x² + 4 x + 15)
= 36 + x² - 4 x - 15
= x² - 4 x + 21
2) vérifier que pour tout x ∈[0 ; 6] A(x) = (x-2)²+ 17
A(x) = x² - 4 x + 4 - 4 + 21
= (x² - 4 x + 4) - 4 + 21
= (x-2)² + 17
3) a) résoudre A(x) = 21 interpréter les solutions dans le cadre de ce problème
A(x) = x² - 4 x + 21 = 21 ⇔ x² - 4 x = 0 ⇔ x(x - 4) ⇒ x = 0 ; x = 4
quand x prend la valeur 0 ou la valeur 4 cm ; l'aire du quadrilatère PQRS vaut 21 cm²
b) montrer que pour tout réel x A(x) ≥ 17 en déduire l'aire minimale ainsi x
A(x) = (x - 2)² ≥ 0 ⇔ (x -2)² + 17 ≥ 17
puisque (x-2)² + 17 = A(x) ⇒ donc A(x) ≥ 17
l'aire minimale est Amin = 17 cm² cette valeur minimale de l'aire de PQRS est atteinte pour x = 2 cm
4) compléter le tableau
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6
A(x) 21 19.25 18 17.25 17 17.25 18 19.25 21 26 33
b) je vous faire le graphique
Explications étape par étape
