Réponse : Bonsoir,
[tex]\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{n^{2}}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)n^{2}}=\frac{n+1}{n^{2}}[/tex].
Il s'agit maintenant de comparer [tex]n+1[/tex] et [tex]n^{2}[/tex], pour [tex]n \geq 2[/tex].
Étudions le signe de la différence : [tex]n+1-n^{2}[/tex].
On calcule le discriminant:
[tex]\Delta=1^{2}-4 \times (-1) \times 1=1+4=5[/tex], les deux racines sont :
[tex]x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{-2} \quad x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{-2}\\x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex].
On a le tableau suivant:
x -∞ x2 x1 +∞
x+1-x² - Ф + Ф -
Or [tex]x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,62[/tex] et le trinôme [tex]x+1-x^{2} \leq 0[/tex], pour x \geq 1,62.
Donc pour [tex]n \geq 2, \; n+1-n^{2}\leq 0[/tex], d'où pour [tex]n \geq 2, \; n+1 \leq n^{2}[/tex].
On en déduit que pour [tex]n \geq 2, \frac{n+1}{n^{2}} \leq 1[/tex], donc pour tout [tex]n \geq 2, \; \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leq 1[/tex], et finalement pour tout [tex]n \geq 2, \; u_{n+1} \leq u_{n}[/tex].
La suite [tex](u_{n})[/tex] est donc décroissante pour tout [tex]n \geq 2[/tex].
