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résolu

Devoir nº 1: développement décimal d'un rationnel
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l'appréciation des copies.
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1. On considère le nombre rationnel (qui s'exprime comme le rapport de deux nombres entiers)
(a) Poser la division de 22 par 7 jusqu'à l'obtention de 10 chiffres après la virgule.
(b) Expliquer pourquoi il suffit de connaître le développement jusqu'à la 7° décimale.
2. (a) Expliquer pourquoi le développement décimal de est qualifié de périodique. Quel est le nombre
de chiffres de sa période?
(b) Quelle est la 128 décimale de ? (expliquer votre méthode)
3. On se propose de vérifier sur quelques exemples que tout nombre admettant un développement décimal
périodique est un nombre rationnel.
(a) On considère le nombre x = 0,5454 ... dont la période 54 a deux chiffres.
Calculer 100%.
Justifier que 100.0 = 54 +2.
Résoudre cette équation et en déduire l'écriture de z en fraction.
(b) Déterminer l'écriture en fraction de 0,785785....
Merciiii infiniment !!

Répondre :

JPMORIN3VIZ

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers.

1)

a) on fait la division de 22 par 7

on trouve : 3, 142857 1428   avec 10 chiffres après la virgule

b) à partir de la 7e décimale on s'aperçoit que l'on retrouve 1 au quotient. On va refaire les mêmes calculs. Ce n'est pas la peine de continuer.

[fais la division et observe-la. 22 que divise 7 on met 3 au quotient et il reste 1, on continue quotient 1 reste 3, quotient 4 reste 2, quotient 2 reste 6 , quotient 8 reste 4, quotient 5 reste 5, quotient 7 reste 1

on retombe sur le premier reste et l'opération se répète. Une remarque on a épuisé tous les restes possibles puisque dans cette division le reste doit être inférieur à 7.]

2)

a) Sans effectuer la suite de la division on sait que l'on va obtenir

3, 142857 142857 142857 142857 142857 ..........

ce développement décimal est appelé périodique : un bloc de chiffre se répète à l'infini. Ce bloc s'appelle une période. Ici la période est 142857 elle comporte 6 chiffres

b) le 128e décimale

on compte combien de fois 128 contient 6

128 = 6 x 21 + 2

au 128e chiffre on a passé 21 périodes et on est au 2e chiffre de la 22e

Le 2e chiffre d'une période est 4  ( 142857 )

3) on veut montrer que tout développement périodique correspond à un nombre rationnel, c'est à dire à une fraction

z = 0,54545454......

(je ne comprends pas ce que dit ton énoncé. D'ailleurs il ne veut rien dire. Je fais comme je sais le faire)

z = 0,54545454......     on multiplie ce nombre par 100 (les "2" zeros correspondent à une période de "2" chiffres

100z = 54, 5454545454.....

100z - z = 54, 5454545454.....    -  0,54545454......

99z = 54    car il y a une infinité de chiffres décimaux  

z  = 54/99  on a la fraction, il reste à la simplifier

z = 6 / 11

(si tu veux contrôler tu divises 6 par 11 et tu retrouves 0,545454......

b)

x = 0,785785.... comme la période a 3 chiffres on multiplie par 1000

1000x = 785,785785785.....

1000x - x = 785

999x = 785

x = 785/999 fraction irréductible

dernière remarque

11/ 3 = 3,66666666666666................   la période a 1 seul chiffre

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