Réponse : Bonsoir,
Je vous laisse la question 1 d'informatique.
2)a) [tex]f'(x)=(x)'(24-\sqrt{x})+(24-\sqrt{x})'x=24-\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}x\\=24+\frac{-\sqrt{x}\;2\sqrt{x}-x}{2\sqrt{x}}=24+\frac{-2x-x}{2\sqrt{x}}=24-\frac{3x}{2\sqrt{x}}=24-\frac{3\sqrt{x}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=24-\frac{3}{2}\sqrt{x}[/tex].
b) Étudions le signe de f'(x) sur l'intervalle [1;500].
Pour cela, on résout par exemple l'inéquation:
[tex]24-\frac{3}{2}\sqrt{x} \geq 0\\\frac{3}{2}\sqrt{x} \leq 24\\\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2} \leq 24^{2} \quad car \quad \frac{3}{2}\sqrt{x} \geq 0 , \; 24 \geq 0, \; et \; la \; fonction \; carree\\ \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[\\\frac{9}{4}x \leq 576\\x \leq 576 \times \frac{4}{9}=64 \times 4=256[/tex].
Donc [tex]f'(x) \geq 0[/tex] sur l'intervalle [1;256], et donc [tex]f'(x) \leq 0[/tex] sur l'intervalle [256;500].
c) x 1 256 500
f'(x) + Ф -
f(x) (croissante) 2048 (décroissante)
3)a) D'après le tableau de variation, le maximum de f sur l'intervalle [1;500] est 2048, donc l'affirmation de Mélanie "Pour tout x de [1;500], [tex]f(x) \leq 2000[/tex], est fausse.
b) Le maximum de f sur l'intervalle [1;500], est 2048, donc pour tout x appartenant à l'intervalle [1;500], [tex]f(x) \leq 2048[/tex].
