Bonjour,
Un+1 = (3Un + 4)/(Un + 3) et U₀ = -1
1)a)
U₁ = U₀₊₁ = (3U₀ + 4)/(U₀ + 3) = (-3 + 4)/(-1 + 3) = 1/2
U₂ = U₁₊₁ = (3U₁ + 4)/(U₁ + 3) = (3/2 + 4)/(1/2 + 3) = (11/2)/(7/2) = 11/7
U₃ = U₂₊₁ = (3U₂ + 4)/(U₂ + 3) = (33/7 + 4)/(11/7 + 3) = (61/7)/(32/7) = 61/32
U₄ = U₃₊₁ = (3U₃ + 4)/(U₃ + 3) = (183/32 + 4)/(61/32 + 3) = (311/32)/(157/32) = 311/157
b) U₁ - U₀ = 1/2 + 1 = 3/2
et U₂ - U₁ = 11/7 - 1/2 = 15/14 ≠ U₁ - U₀
⇒ (Un) n'est pas arithmétique
De même :
U₁/U₀ = -1/2 et U₂/U₁ = 22/7 ≠ U₁/U₀
⇒ (Un) n'est pas géométrique
2) f(x) = (3x + 4)/(x + 3) sur I = ]-3 ; +∞{
a) f'(x) = [3(x + 3) - 1(3x + 4)]/(x + 3)² = 5/(x + 3)²
⇒ sur I, f' est strictement positive
⇒ sur I, f est strictement croissante
b) f(x) - x
= (3x + 4)/(x + 3) - x
= (3x + 4)/(x + 3) - x(x + 3)/(x + 3)
= (3x + 4 - x² - 3x)/(x + 3)
= (2 - x)(2 + x)/(x + 3)
Tableau de signes sur I :
x -3 -2 2 +∞
2 - x + + 0 -
2 + x - 0 + +
x + 3 || + + +
f(x)-x || - 0 + 0 -
c) Soit Cf la courbe représentative de f
Sur ]-3 ; -2[ U ]2 ; +∞[, f est en dessous de (d)
Sur ]-2 ; 2[, f est au-dessus de (d)
Et pour x = -2 et x = 2, Cf et (d) se coupent.
3)a et b) Voir figure ci-dessous
c) On peut conjecturer que (Un) est croissante et que sa limite vaut 2.
4) Vn = (Un + 2)/(Un - 2)
a) V₀ = (U₀ + 2)/(U₀ - 2) = (-1 + 2)/-1 - 2) = -1/3
V₁ = (U₁ + 2)/(U₁ - 2) = (1/2 + 2)/(1/2 - 2) = (5/2)/(-3/2) = -5/3
V₂ = (U₂ + 2)/(U₂ - 2) = (11/7 + 2)/(11/7 - 2) = (25/7)/(-3/7) = -25/3
etc...
b) Vn = (Un + 2)/(Un - 2)
⇔ (Un - 2)Vn = (Un + 2)
⇔ UnVn - 2Vn = Un + 2
⇔ VnUn - Un = 2 + 2Vn
⇔ Un(Vn - 1) = 2(Vn + 1)
⇔ Un = 2(Vn + 1)/(Vn - 1)
c) Vn+1 = (Un+1 + 2)/(Un+1 - 2)
= [(3Un + 4)/(Un + 3) + 2]/[(3Un + 4)/(Un + 3) - 2]
= [(3Un + 4 + 2Un + 6)/(Un + 3)]/[(3un + 4 - 2Un - 6)/(Un + 3)]
= (5Un + 10)/(Un - 2)
= 5(Un + 2)/(Un - 2)
= 5Vn
Donc (Vn) est géométrique de raison q = 5 et de premier terme V₀ = -1/3
d) On en déduit : Vn = V₀ x qⁿ = -1/3 x 5ⁿ
puis : Un = 2(Vn + 1)/(Vn - 1)
= 2 x (-1/3 x 5ⁿ + 1)/(-1/3 x 5ⁿ + 1)
= 2 x (5ⁿ - 3)/(5ⁿ + 3)
