Réponse : Bonsoir,
1) [tex]v_{0}=\frac{1}{u_{0}-1}=\frac{1}{0-1}=-1\\u_{1}=\frac{1}{2-u_{0}}=\frac{1}{2-0}=\frac{1}{2}\\v_{1}=\frac{1}{u_{1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=-2\\u_{2}=\frac{1}{2-u_{1}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\\v_{2}=\frac{1}{u_{2}-1}=\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=\frac{1}{-\frac{1}{3}}=-3[/tex].
Au vu des premiers termes de la suite [tex](v_{n})[/tex], on peut conjecturer que la suite [tex](v_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison -1.
b) Démontrons que la suite [tex](v_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison -1:
[tex]v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2-u_{n}}-1}=\frac{1}{\frac{1-(2-u_{n})}{2-u_{n}}}=\frac{1}{\frac{1-2+u_{n}}{2-u_{n}}}\\v_{n+1}=\frac{1}{\frac{-1+u_{n}}{2-u_{n}}}=\frac{2-u_{n}}{u_{n}-1}=\frac{1}{u_{n}-1}-1=v_{n}-1[/tex].
Pour tout entier naturel n, [tex]v_{n+1}=v_{n}-1[/tex], donc la suite [tex](v_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison -1.
c) Une expression de [tex]v_{n}[/tex] en fonction de n est donc:
[tex]v_{n}=v_{0}+n \times (-1)=-1-n[/tex].
Une expression de [tex]u_{n}[/tex] en fonction de n est:
[tex]v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1} \Leftrightarrow v_{n}(u_{n}-1)=1 \Leftrightarrow v_{n}u_{n}-v_{n}=1 \Leftrightarrow u_{n}v_{n}=1+v_{n} \\\Leftrightarrow u_{n}=\frac{1+v_{n}}{v_{n}}\\Donc \; u_{n}=\frac{1-1-n}{-1-n}=\frac{-n}{-(1+n)}=\frac{n}{1+n}[/tex].
4) [tex]u_{n+1}-u_{n}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}+2n+1-n^{2}-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}[/tex].
(n+1)(n+2) > 0 car n entier naturel et 1>0, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}-u_{n} > 0[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
