Soit P(n) la propriété que l'on veut démontrer
P(n) : 1² + 2² + 3² + .... + n² = n(n+1)(2n+ 1) / 6
Le raisonnement par récurrence comporte 3 parties
1) initialisation :
on contrôle cette égalité pour n = 1
P(1) : 1² = 1(1+1)(2 +1) /6
1 = (2 x 3) / 6
1 = 1
donc la propriété est vraie pour 1 P(1) est vraie
2) hérédité
on démontre que si P(n) est vraie alors P(n+1) est aussi vraie
hypothèse :
1² + 2² + 3² + .... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6
conclusion: (on remplace n par n+1)
1² + 2² + 3² + ...... + n² + (n+1)² = (n + 1)(n + 2)[2(n+ 1) + 1] /6
ce qui peut s'écrire
1² + 2² + 3² +...... + n² + (n + 1)² = (n + 1)(n +2)(2n+3) /6 ligne a
(1) (2)
on va montrer que (1) = (2)
démonstration
puisque 1² + 2² + 3² + .... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
1² + 2² + 3² +...... + n² + (n + 1)² = [ 1² + 2² + 3² +...... + n² ] + (n + 1)²
on remplace la partie entre crochets par n(n + 1)(2n + 1)/6
= n(n + 1)(2n + 1) /6 + (n+ 1)²
(n+1) en facteur = (n + 1)[n(2n + 1)/6 + (n + 1)]
dén. 6 = (n+1)[n (2n + 1)/6 + 6(n + 1)/6)] ligne b
il reste à montrer que [n (2n + 1)/6 + 6(n + 1)/6)] ligne b est égal à
(n +2)(2n+3) /6 ligne a
n(2n + 1) + 6(n + 6) = 2n² + n + 6n + 6 = 2n² + 7n = 6
(n + 2)(2n + 3) = 2n² + 4n +3n + 6 = 2n² + 7n + 6
il y a égalité on a fait la démonstration
1² + 2² + 3² +...... + n² + (n + 1)² = (n + 1)(n +2)(2n+3) /6
3) conclusion
Puisque P(1) est vraie et que P(n) est héréditaire alors P(n) est vrai pour tout n (n ≥ 1)
