Réponse : Bonsoir,
[tex]\frac{f'(x)}{f(x)^{2}}=\left(-\frac{1}{f(x)}\right)'=\frac{1}{6}\\\Leftrightarrow -\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{6}x+C \quad avec \; C \; constante[/tex].
On veut une expression possible pour f, on prend par exemple la constante C=0.
On a:
[tex]-\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{6}x\\f(x) \times x=-6\\f(x)=-\frac{6}{x}[/tex].
Une expression possible pour f(x) est [tex]f(x)=-\frac{6}{x}[/tex].
Vérification: [tex]\frac{f'(x)}{f(x)^{2}}=\frac{\left(-\frac{6}{x}\right)'}{\left(-\frac{6}{x}\right)^{2}}=\frac{6\frac{1}{x^{2}}}{\frac{36}{x^{2}}}=\frac{6}{x^{2}} \times \frac{x^{2}}{36}=\frac{1}{6}[/tex].
Donc l'égalité est bien vérifiée, donc [tex]f(x)=-\frac{6}{x}[/tex] convient.
