Réponse :
U0 = - 3/2 et pour tout n ∈ N, Un+1 = (3Un + 4)/(Un + 3)
2) calculer U1 , U2 et U3
U1 = (3U0 + 4)/(U0 + 3) = (3(-3/2) + 4)/(-3/2 + 3) = (-9/2 + 4)/(- 3/2 + 3)
= (-9/2 + 8/2)/(-3/2 + 6/2) = - 1/2/3/2 = - 1/3
U2 = (3U1 + 4)/(U1 + 3) = (3(- 1/3) + 4)/(-1/3 + 3) = (- 1 + 4)/(8/3) = 3/8/3 = 9/8
U3 = (27/8 + 4)/(9/8 + 3) = 59/8/33/8 = 59/33
3) conjecturer la limite de la suite Un
de n = 0 à n = 3 la suite Un augmente mais restant inférieure ou égale à 2 donc la lim Un ≈ 2
n→+∞
soit Vn = (Un + 2)/(Un - 2) pour tout n∈N
4) démontrer que la suite V est géométrique
Vn+1/Vn = [(Un+1 + 2)/(Un+1 - 2)]/(Un + 2)/(Un - 2)
= ((3Un + 4)/(Un + 3) + 2)(Un - 2)]/((3Un + 4)/(Un + 3) - 2)(Un + 2)
= (3Un + 4 + 2Un + 6)/(Un + 3)](Un + 2)/(3Un + 4 + 2Un - 6)/(Un + 3)](Un + 2)
= 5(Un + 2)(Un - 2)/(Un +3)/(Un - 2)(Un +2)/(Un + 3) = 5
la suite V est géométrique de premier terme V0 = (U0 + 2)/U0 - 2)
V0 = - 3/2 + 2)/(-3/2 - 2) = 1/2/-7/2 = - 1/7
de raison q = 5
Vn = V0 x qⁿ = (-1/7) x 5ⁿ
3) en déduire que pour tout n ∈ N
Un = - 2 x (1 - 5ⁿ/7)/(1 + 5ⁿ/7)
Vn = (Un + 2)/(Un - 2) ⇔ (Un - 2) x Vn = Un + 2
⇔ Un x Vn - 2 Vn = Un + 2 ⇔ Un x Vn - Un = 2 Vn + 2
⇔ Un(Vn - 1) = 2 Vn + 2 ⇒ Un = (2Vn + 2)/(Vn - 1)
Un = 2 x (- 5ⁿ/7) + 2/(- 5ⁿ/7 - 1) = 2 x (1 - 5ⁿ/7)/(- 1 - 5ⁿ/7)
= 2 x (1 - 5ⁿ/7)/- (1 + 5ⁿ/7)
= - 2 x (1 - 5ⁿ/7)/- (1 + 5ⁿ/7)
Explications étape par étape
