On cherche dans quel cas l'aire d'un rectangle de 200 m de périmètre est la plus grande
longueur du rectangle L
largeur du rectangle l
l'aire vaut a = L x l (1)
le périmètre est 200 = (L + l) /2 (2)
on tire l de (2) l = 100 - L
et on porte dans (1) a(L) = L (100 - L)
a(L) = - L² + 100 L
dans la fonction a(L) le coefficient de L² est négatif. Elle est représentée par une parabole tournée vers le bas. Cette fonction sera maximum pour la valeur de L qui annule la dérivée
a'(L) = -2L + 100
- 2L + 100 = 0
L = 50
lorsque la longueur vaut 50 la largeur vaut aussi 50 et ce rectangle est un carré.
A périmètre constant l'aire d'un rectangle est maximale lorsque celui-ci est un carré.
