Réponse : Bonsoir,
2) [tex]\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{b}\right)^{2}=a^{2}+2 \times a \times \frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+2 \times b \times \frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{b}\right)^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+2+\frac{1}{b^{2}}\\\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{b}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}+4[/tex].
D'après la question 1, [tex]a^{2}+b^{2} \geq \frac{1}{2}[/tex].
Pour déterminer un minorant de [tex]\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}[/tex], il faut minimiser le numérateur et maximiser le dénominateur.
Le numérateur [tex]a^{2}+b^{2} \geq \frac{1}{2}[/tex], on prend donc [tex]\frac{1}{2}[/tex], comme minorant du numérateur.
D'après la question 1, [tex]ab \leq \frac{1}{4}[/tex], et comme a et b sont deux réels strictement positifs, alors ab > 0, donc:
[tex]ab \leq \frac{1}{4} \Leftrightarrow a^{2}b^{2} \leq \frac{1}{16}[/tex].
Donc [tex]\displaystyle\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}} \geq \displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2} \times 16=8[/tex].
Donc :
[tex]\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{b}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}+4 \geq \frac{1}{2}+8+4=\frac{1+16+8}{2}=\frac{25}{2}[/tex]
