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résolu

Bonjour j'aurais besoin d'aide sur ce DM merci d'avance.

Une usine produit et vend des stylos. Pour l'entreprise, la production quotidienne de stylos engendre un coût total, noté C(x) composé de coûts fixes (salaires et matériaux) et d'un coût variable proportionnel au nombre x de stylos vendus.
La recette brute , notée R(x) est la somme d'argent encaissée (reçue) à la suite de la vente de x stylos vendus 2,50 euros pièce.
Le bénéfice net, noté B(x) est la différence entre la recette et le coût total. On a alors B(x)= R(x)- C(x).

Partie 1:

1) Calculer la recette brute en € correspondant à la vente de 100 stylos.

2) Le coût est donné par la formule C(x)= 1,25x+180. Calculer le coût total en € correspondant à la production de 100 stylos.

3) Exprimer le bénéfice en € correspondant à la production et à la vente de 100 stylos.

Partie 2:

1) Donner l'expression de la recette brute en fonction de x.

2) Le coût total est donné par la formule C(x)=1,25x+180. Quels sont les coûts fixes ? Quel est le coût variable ?

3) Exprimer le bénéfice en fonction de x.

4) a) Sur la calculatrice, tracer la courbe représentant la fonction recette et celle représentant le coût total.
b) Déterminer par lecture graphique le nombre minimum de stylos à vendre pour que l'entreprise commence à faire des bénéfices. Justifier.

5) Déterminer ce nombre par le calcul.

Merci encore.​

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Réponse :

Partie 1

1) calculer la recette brute en € correspondant à la vente de 100 stylos

Recette brute = 2.5 * 100 = 250 €

2) Calculer le coût total en € correspondant à la vente de 100 stylos

 C(x) = 1.25 x + 180

 C(100) = 1.25 * 100 + 180 =  305 €

3) exprimer le bénéfice en en € correspondant à la vente de 100 stylos

     B(x) = R - C(x)

     B(100) = R - C(100)

                 = 250 - 305  = - 55 €  

Partie 2

1) donner l'expression de la recette brute en fonction de x

      R(x) = 2.5 x

2) quels sont les coûts fixes

pour  0 production on a C(0) = 180 €

quel est le coût variable :  1.25 x  

3) exprimer le bénéfice en fonction de x

       B(x) = R(x) - C(x)

4) a) la recette R(x) = 2.5 x est une fonction linéaire croissante (a = 2.5 > 0) la droite représentant cette fonction recette passe par l'origine  

pour tracer cette droite il faut des points

x        0            50            100            150            200             250           300

R(x)    0            125           250           375            500             625           750

pour le coût total  C(x) = 1.25 x + 180 est une fonction affine croissante (a = 1.25 > 0) la droite représentative de C a pour ordonnée à l'origine 180 €

x        0            50            100            150            200             250           300

R(x)   180         242.5       305            367.5         430            492.5        555

Dans le repère orthonormé  on prendra en abscisse  1 cm = 50 stylos

en ordonnée 1 cm = 100 €

vous pouvez tracer aisément les deux droites

    b) déterminer par lecture graphique le nombre minimum de stylos à vendre pour que l'entreprise commence à faire des bénéfices; justifier

    le nombre minimum est de 145 stylos pour faire du bénéfice

cela correspond à la droite de R qui est au dessus de la droite de C

5) Déterminer ce nombre par le calcul

    on écrit R(x) ≥ C(x) ⇔ 2. 5 x ≥ 1.25 x + 180 ⇔ 1.25 x ≥ 180

⇒ x ≥ 180/1.25 ⇒ x ≥  144 stylos ⇒  x min = 144 stylos

Explications étape par étape

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