Bonjour;
1.
On a : AO = AB/2 = (2a)/2 = a .
ABCD est rectangle , donc le triangle ADO est rectangle en A ;
donc en appliquant le théorème de Pythagore ,
on a : DO² = AD² + AO²= a² + a² = 2a² ;
donc : DO = √2 a .
2.
G et H sont les projections orthogonales de F respectivement
sur les droites (DC) et (DA) , donc les droites (FG) et (DC) sont
perpendiculaires ainsi que le droites (HF) et (DA) .
ABCD est un rectangle , donc les droites (DC) et (HD) sont
perpendiculaires , donc les droites (FG) et (HD) sont perpendiculaires
à la droite (DC) , donc les droites (FG) et (HD) sont parallèles .
De même on démontre que les droites (DG) et (HF) sont parallèles ,
donc le quadrilatère DHFG est un parallèlogramme .
On a par hypothèse que les angles HDG , DGF et FHD sont des angles
droits , donc l'angle HFG est un angle droit , donc DHFG est un carré .
3.
Le triangle FHD est rectangle en H , donc en appliquant le théorème
de Pythagore , on a : DF² = HF² + HD² = 2 HF² = 2 R² ;
donc : DF = √2 R .
4.
[OE] est un rayon du demi-cercle , donc on a : OE = OA = a ;
donc : DO = DF + FE + OE ;
donc : √2 a = √2 R + R + a .
5.
On a : √2 a = √2 R + R + a ;
donc : √2 a - a = √2 R + R ;
donc : (√2 - 1)a = (√2 + 1)R ;
donc : R = (√2 - 1)/(√2 + 1) a ;
donc : R = (√2 - 1)²/((√2 - 1)(√2 + 1)) a ;
donc : R = (√2 - 1)²/(2 - 1) a ;
donc : R = (2 - 2√2 + 1) a ;
donc : R = (3 - 2√2) a .
