Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1) En l'année 2020, si n=1 alors [tex]U_1=U_0*0.8+20=0.8*500+20=420\\U_0=500\\\\U_{n+1}=0.8*U_n+20\\[/tex]
Les diverses réponses se trouvent dans le fichier joint.
Voici la méthode numérique pour résoudre le problème:
on pose
[tex]V_n=U_n-100\\\\V_{n+1}=U_{n+1}-100\\=0.8*U_n+20-100\\=0.8U_n-80\\=0.8(U_n-100)=08*V_n\\V_0=U_0-100=500-100=400\\V_1=0.8*V_0=400*0.8\\V_2=0.8*V_1=0.8*0.8*V_0=400*0.8^2\\V_3=0.8*V_2=400*0.8^3\\....\\V_n=400*0.8^n\\Donc\\U_n=V_n+100=400*0.8^n+100\\[/tex]
3)
En 2030, n=2030-2019=11
[tex]U_11=400*0.8^11+100=134,359738368\approx{134}\\[/tex]
5)
400*0.8^n+100<101
400*0.8^n<1
0.8^n<1/400
n ln(0.8)<ln(1/400)
n<26,850... ==> n<27 (donc en 2046)
