Bonjour ;
Je crois que l'énoncé est erroné .
Je crois que l'exercice s'énonce comme suit :
Soit (u_n) la suite définie sur IN par u_1 = 1 et pour
tout n ≥ 1 : u_{n + 1} = (n u_n + 4)/(n + 1) .
On a pour tout n ≥ 1 : u_{n + 1} = (n u_n + 4)/(n + 1) ;
donc : (n + 1) u_{n + 1} = n u_n + 4 .
Soit la suite (v_n) définie sur IN par : v_n = n u_n .
Comme on a pour tout n ∈ IN : (n + 1) u_{n + 1} = n u_n + 4 ;
donc : v_{n + 1} = v_n + 4 ;
donc : v_{n + 1} - v_n = 4 ;
donc la différence de deux termes consécutifs de la suite (v_n)
est constante et égale à 4 ; donc la suite (v_n) est une suite
arithmétique de raison r = 4 et de premier terme v_1 = 1 * u1 = 1 * 1 = 1 ;
donc pour tout n ∈ IN : v_n = v_1 + (n - 1)r = 1 + 4(n - 1)
= 1 + 4n - 4 = 4n - 3;
donc : n u_n = 4n - 3 ;
donc : u_n = (4n - 3)/n = 4 - 3/n .
