Réponse : Bonjour,
1) Etude de la solution 1
a) L'aire du triangle est:
[tex]\frac{x \times h}{2}=1 \Leftrightarrow xh=2 \Leftrightarrow h=\frac{2}{x}[/tex].
b) La longueur de contact de l'eau avec la section est la somme des deux côtés de même longueur du triangle.
Calculons la longueur d'un côté.
Comme le triangle est isocèle alors la hauteur issue du sommet principal passe par le milieu de la base, et forme deux triangles rectangles dont deux côtés mesurent [tex]\frac{x}{2}[/tex] et [tex]h[/tex].
La longueur de l’hypoténuse [tex]l[/tex] de ces deux triangles rectangles est:
[tex]l^{2}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}\\l=\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}}[/tex].
Donc comme la longueur de contact de l'eau avec la section est égale à deux fois la longueur de l'hypoténuse d'un des deux triangles rectangles alors:
[tex]L_{1}(x)=2\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}}[/tex].
c) On a:
[tex]f'(x)=\frac{4x^{3} \times 4x^{2}-8x \times (x^{4}+16)}{16x^{4}}=\frac{16x^{5}-8x^{5}-128x}{16x^{4}}=\frac{8x^{5}-128x}{16x^{4}}\\f'(x)=\frac{8x(x^{4}-16)}{16x \times x^{3}}=\frac{x^{4}-16}{2x^{3}}=\frac{(x^{2}-4)(x^{2}+4)}{2x^{3}}=\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{2x^{3}}[/tex].
Sur ]0;+∞[, [tex]2x^{3}>0, \; x^{2}+4 > 0[/tex], et [tex]x+2>0[/tex], donc f'(x) est du signe de x-2.
On a le tableau suivant:
x 0 2 +∞
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissant) 2 (croissant)
d) On a:
[tex]L_{1}(x)=2\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}}=2\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\frac{4}{x^{2}}}=2\sqrt{\frac{x^{2} \times x^{2}+4 \times 4}{4x^{2}}}\\L_{1}(x)=2\sqrt{\frac{x^{4}+16}{4x^{2}}}=2\sqrt{f(x)}[/tex].
Puisque le minimum de f sur ]0;+∞[ est 2, alors f(x) > 0, sur ]0;+∞[, et donc la fonction [tex]L_{1}(x)=2\sqrt{f(x)}[/tex] est bien définie pour x > 0.
Étudions les variations de [tex]L_{1}[/tex] sur ]0;+∞[.
Pour cela, on calcule la dérivée:
[tex]L'_{1}(x)=2\left(\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\right)=\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}[/tex].
[tex]\sqrt{f(x)} > 0[/tex] sur ]0;+∞[, par définition de la fonction racine carrée, donc [tex]L'_{1}(x)[/tex] est du signe de [tex]f'(x)[/tex].
On a le tableau suivant:
x 0 2 +∞
[tex]L'_{1}(x)[/tex] - Ф +
[tex]L_{1}(x)[/tex] (décroissant) (croissant)
D'après la tableau précédent, le minimum de [tex]L_{1}[/tex] est atteint en x=2, et la longueur minimale recherchée est:
[tex]L_{1}(2)=2\sqrt{f(2)}=2\sqrt{2}[/tex].
