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Réponse :
Tu as mis deux fois le même exercice et comme je vois que le tableau de signes ne semble pas évident pour toi je te remets cette explication.
Explications étape par étape
I est l'inégalité 1/3x<= 4x/(2x+2)
1)on met tout à droite
1/3x-4x/(2x+2)<=0
on met au même dénominateur
[1(2x+2)-4x(3x)]/3x(2x+2)=(-12x²-2x+2)/3x(2x+2)
maitenant on rechreche les solutions de (-12x²+2x+2)/3x(2x+2)<=0
On note que l'on a un quotient et on sait que la division par 0 est impossible donc les valeurs qui annulent le diviseur sont interdites soit x=0 et x=-1
le domaine de défition de cette inéquation est R-(les valeurs interdites soit x appartient à R-{-1; 0} qui donne sous la forme d'intervalles: x appartient à ]-oo;-1[U]-1;0[U]0;+oo[ il est plus court d'écrire R-[-1; 0}
Pour faire tableau de signes il nous faut les signes du dividende D=-12x²+2x+2 et celles du diviseur d=3x(2x+2)
pour d on sait que d=0 pour x=-1 et x=0
pour D on résout l'équation -12x²+2x+2=0 ou-6x²+x+1=0 après simplification par2
c'est une équation du second degré ; je pense que tu connais la méthode avec "delta"
delta=1+24=25 rac delta=5
solutions x1=(-1-5)/-12 =1/2 et x2=(-1+5)-12=4/-12=-1/3
Si tu n'as pas vu cette méthode il faut factoriser D
A partir de toutes ces valeurs on dresse le tableau de signes
x -oo -1 -1/3 0 1/2 +oo
D - - 0 + + 0 -
d + 0 - - 0 + +
I - II + 0 - II + 0 -
les solutions de l'inéquation 1/3x<ou=4x/(2x+2) sont donc
x appartient à ]-oo; -1[U[-1/3; 0[U[1/2;+oo[
les valeurs -1 et 0 sont exclues (valeurs interdites) d'où les crochets ouverts alors que pour les deux autres -1/3 et 1/2 ,ils sont fermés car ce sont les solutions de 1/3x=4x(2x+2)
Nota j'ai gardé l'expression initiale de I, mais on aurait pu la simplifier dès le début car 4x/(2x+2)=2x/(x+1)
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