Réponse :
1) est-il maximum ? quel est alors ce profit
P1(x) = - x² + 16 x - 39
forme canonique de P1(x) = a(x - α)² + β
a = - 1
α = - b/2a = - 16/-2 = 8
β = f(8) = - 64+128-39 = 25
P1(x) = - (x - 8)² + 25
la quantité produite est de 8 (en milliers d'unités) soit 8000
pour 8000 quantités produites on a un profit maximal de 25 000 €
2) pour quelle quantité produite le profit de la firme 2 est-il positif
P2(x) = - x² + 24 x - 108 > 0
Δ = 576 - 432 = 144 ⇒ √144 = 12
x1 = - 24+12)/-2 = 6
x2 = - 24 - 12)/- 2 = 18
x 0 6 18 20
P2(x) - 0 + 0 -
pour x ∈}6 ; 18[ le profit de la firme 2 est positif
3) pour quel volume de production les deux firmes feront-elles le même profit ? calculer ce profit
P1(x) = P2(x) ⇔ - x² + 16 x - 39 = - x² + 24 x - 108
⇔ 8 x = 69 ⇒ x = 69/8 = 8.625 soit 8625
P1(8.625) = - 74.390625 + 138 - 39 = 24.609375 soit 24609.375 €
4) P2(x) > P1(x)
- x² + 24 x - 108 > - x² + 16 x - 39 ⇔ 8 x > 69 ⇒ x > 69/8 ⇒ x > 8.625
donc x ∈]8.625 ; 18[
pour que P1(x) et P2(x) soient positifs il faut que x ∈ ]6 ; 18[
Explications étape par étape
