Bonjour ;
Supposons que Mn est premier et n non premier ;
donc il existe deux nombres nombres entiers naturels superieurs
strictement à 1 tels que : n = pq .
On a donc : Mn = 2^n - 1 = 2^(pq) - 1 = (2^p)^q - 1
= ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) x (2^p - 1) .
Comme p est strictement supérieur à 1 alors 2^p - 1 ≥ 3 .
Supposons que ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) = 1 ;
alors on a : (2^p)^q - 1 = 2^p - 1 ;
donc : 2^(pq) = 2^p ;
donc : 2^(pq - p) = 1 ;
donc : pq - p = 0 ;
donc : p(q - 1) = 0 ; ce qui absurde car p et q sont strictement
supérieurs à 1 ; donc ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) > 1 .
De plus ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) est la somme des q + 1 termes
de la suite géométrique (v_n) de premier terme v_0 = 1
et de raison q = 2^p ; donc ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) est un nombre
entier naturel .
Les deux derniers résultats nous permettent d'affirmer que
((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) est un nombre entier naturel suérieur
strictement à 1 .
Conclusion .
Mn = = ((2^p)^q - 1)/(2^p - 1) x (2^p - 1) est le produit de deux
nombres entiers naturels supérieurs strictement à 1 ; donc Mn
n'est pas un nombre premier , ce qui contredit notre le fait que
Mn est un nombre premier , donc notre supposition que n est
non premier est fausse , donc si Mn est premier alors n est premier .
