4 cos²x + 2(√3 - 1) cosx - √3 ≥ 0
calcul du ∆
∆ = 4(√3 - 1)² - 4 * 4 (-√3)
= 4[√3 -1)² + 4√3 ]
= 4( 3 - 2√3 + 1 + 4√3)
= 4(3 + 2√3 + 1)
= 4(√3 + 1)²
√∆ = 2|√3 + 1| = 2(√3 + 1) puisque ce nombre est positif
racines
x1 = -2(√3 - 1) + 2(√3 + 1) /8
= -(√3 - 1) + (√3 + 1)/4
= 1/2
x2 = -2(√3 - 1) - 2(√3 + 1) /8
= -(√3 - 1) - (√3 + 1) /4
= - √3/2
d'où
4(cosx - 1/2)(cosx+√3/2) ≥ 0
cosx est supérieur ou égal à 1/2 pour
0 ≤ x ≤ π/3 ou 5π/3 ≤ x ≤ 2π
cosx est supérieur à -√3/2 pour
0 ≤ x ≤ 5π/6 ou 7π/6 ≤ x ≤ 2π
j'appelle (1) : (cosx -1/2)
j'appelle (2) : (cosx + √3/2)
0 π/3 5π/6 7π/6 5π/3 2π
(1) + 0 - - - 0 +
(2) + + 0 - 0 + +
|-------------| |-------------| |-------------|
j'ai marqué avec les pointillés les intervalles où le produit est positif
