Réponse :
Explications étape par étape
ex1) f(x)=(-4x-3)/(x²+1) cette fonction est définie sur R
limites qd x tend vers -oo, f(x) tend vers 0+
qd x tend vers +oo, f(x) tend vers 0-
1)dérivée: f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc
f'(x)=(u'v-v'u)/v²
u=-4x-3 u'=-4 et v=x²+1 v'=2x
f'(x)=[-4(x²+1)-2x(-4x-3)]/(x²+1)²=(4x²+6x-4)/(x²-1)²
2)f'(x)=0 si 2x²+3x-2=0 (après simplification par 2) via delta on trouve comme solution x1=-2 et x2=1/2
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -2 1/2 +oo
f'(x)..........+.................0...........-..................0............+................
f(x) 0+......croi.........f(-2)......décroi........f(1/2).........croi...........0-
f(-2)=1 et f(1/2)=-4
on note aussi que f(x)=0 pour x=-3/4 , que f(0)=-3 et que la droite y=0 (axe des abscisses) est une asymptote horizontale.
4) L'équation de la tangente au point d'abscisse x=1 est donnée par la formule y=f'(1)(x-1)+f(1) il suffit de connaître la formule et de remplacer
y=(6/4)(x-1)-7/2=(3/2)x-5
5)courbe pour la tracer calcule en plus f(1); f(2) et f(3) puis trace la tangente(T).
ex2
1)zA=2V3-2i on te dit que zB=i*zA soit zB==i(2V3-2i)=2+(2V3)i c'est de la distributivité et sachant que i²=-1
2)zA=2V3-2i
IzAI=V(12+4)=4
cos tetaA=(2V3)4=(V3)/2
sin tetaA=-2/4=-1/2
donc tetaA=-pi/6 +2kpi ou 11pi/6+2kpi
zA=4(cos11pi/6+ i sin11pi/6) pour info pi/6=30°
zB=2+(2V3)i
IzBI=V(4+12)=V16=4
cos tetaB=2/4=1/2
sintetaB=(2V3)/4=(V3)/2
tétaB=pi/3+2kpi pour info pi/3=60°
zB=4(cospi/3+i sinpi/3)
3)IzAI=IzBI=4 donc OA=OB=4
5)l'angle AOB ou (vecOB;vecOA)=(vecOB; u)+(u; vecOA)
=pi/3+pi/6=pi/2 soit 90°
Conclusion le triangle AOB est rectangle isocèle en O.
Et AB=4V2 (diagonale d'un carré de côté 4)
4) pour la construction des points A et B utilise un compas sachant que pi/3 est l'angle d'un triangle équilatéral (pense à l'hexagone régulier).
6)Affixe de K : zK=(zA+zB)/2=(2+2V3)/2+i(-2+2V3)/2
zK=(1+V3)+i(-1+V3)
Affixe de C : OACB est un carré donc K est le milieu de OC par conséquent zC=2zK soit zC=(2+2v3)+i(-2+2V3)
