Réponse :
a) démontrer que A = 1/2(bc sin (^BAC)
soit H le projeté orthogonal de B sur (AC)
le triangle ABH est rectangle en H
sin (^BAC) = BH/AB ⇒ BH = AB x sin (^BAC)
l'aire du triangle ABC est : A = 1/2(BH x AC) = 1/2( AB x sin (^BAC) x AC)
A = 1/2(AB x AC x sin (^BAC)
or AB = c et AC = b
d'où A = 1/2(bc x sin (^BAC))
b) proposer deux autres expressions de l'aire A
soit le triangle BCH rectangle en H
sin (^BCA) = BH/BC ⇒ BH = BC x sin (^BCA)
A = 1/2(BH x AC) = 1/2(BC x AC x sin (^BCA))
or BC = a et AC = b
d'où A = 1/2(ab x sin (^BCA))
soit H' le projeté orthogonal de A sur (BC)
le triangle ABH' est rectangle en H'
sin (^ABC) = AH'/AB ⇒ AH' = AB x sin (^ABC)
A = 1/2(BH' x BC) = 1/2(AB x BC x sin (^ABC)
= 1/2(ac x sin (^ABC))
c) en déduire l'égalité
a/sin (^BAC) = b/sin (^ABC) = c/sin (^BCA)
BH = c x sin (^BAC)
BH = a x sin (^BCA)
⇔ c x sin (^BAC) = a x sin (^BCA) ⇔ a/sin (^BAC) = c/sin (^BCA)
AH' = c x sin (^ABC)
AH' = b x sin (^BCA)
⇔ c x sin (^ABC) = b x sin (^BCA) ⇔ b/sin(^ABC) = c/sin (^BCA)
donc a/sin (^BAC) = b/sin(^ABC) = c/sin (^BCA)
Explications étape par étape
