Réponse :
f(x)=e^(2x)+2e^(x)+x²-4x+5
Explications étape par étape
1)conjecture AM est minimale quand M a pour coordonnées (0;1)
c'est à dire (0;e^0)
2-a)f'(x)=2e^(2x)+2e^(x)+2x-4
b)f"(x)=4e^(2x)+2e^(x)+2
c) on note que f"(x) est toujours> 0 donc la fonction f'(x) est croissante sur R
limites de la fonction f'(x)
si x tend vers -oo f'(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo f'(x) tend vers +oo
D'après le TVI f'(x)=0 admet une et une seule solution qui est x=0 (solution évidente).
Tableau de signes de f"(x) et de variation de f'(x)
x -oo 0 +oo
f"(x)....................+..........................................+.........................
f'(x)-oo...........croi..................0..................croi....................+oo
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 0 +oo
f'(x).....................-......................0.....................+........................
f(x)+oo............décroi.............f(0)..............croi...................+oo
f(0)=8.
les limites de f(x) sont faciles à calculer sans calculette
si xtend vers-oo f(x) tend vers 0+0+(-oo²)-4(-oo)+5=+oo
si x tend vers +oo , -4x est devient négligeable devant les fonctions e^x en +oo (croissance comparées) donc f(x) tend vers+oo
3-a) AM=rac[(xM-xA)²+(yM-yA)²]
AM=rac[(x-2)²+(e^x +1)²]=rac(x²-4x+4+e^2x+2e^x+1] (identités remarquables)
AM=rac[e^(2x)+2e^(x) +x²-4x+5]=rac[f(x)]
b) la fonction f(x) est définie sur R est la valeur de f(x) est toujours >0 par conséquent la fonction rac[f(x)] est définie sur R et varie comme f(x)
c)La valeur minimale de AM est donc rac8 =2rac2 (diagonale d'un carré de côté 2) Coordonnées de M(0; 1)