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Réponse :
f(x) = - x³ + 2 x² - 2 x + 1 définie sur R
1) calculer f '(x)
f '(x) = - 3 x² + 4 x - 2
2) les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses
a) la fonction f est strictement décroissante sur R
Affirmation : vraie
f '(x) = - 3 x² + 4 x - 2
Δ = 16 - 24 = - 8 ⇒ Δ < 0 pas de racines
le signe de f '(x) dépend du signe de a < 0 ⇒ f '(x) < 0 donc la fonction f est strictement décroissante sur R
b) la tangente T à Cf au point A d'abscisse 2 a pour équation y = - 6 x + 9
y = f(2) + f '(2)(x - 2)
f(2) = - 8 + 8 - 4 + 1 = - 3
f '(2) = - 24 + 8 - 2 = - 26 + 8 = - 18
y = - 3 - 18(x - 2)
= - 3 - 18 x + 36
y = - 18 x + 33 Donc l'affirmation est fausse
c) l'équation f(x) = 0 admet une seule solution
pour x = 1 ⇒ f(1) = - 1 + 2 - 2 + 1 = 0 donc x = 1 est solution de f(x) = 0
on peut écrire f(x) = (x-1)(a x² + b x + c)
= a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
= a x³ + (b - a) x² + (c -b) x - c
a = - 1
c = - 1
b - a = 2 ⇒ b = 2 + a = 2 - 1 = 1
f(x) = (x-1)(- x² + x - 1) = 0
Δ = 1 - 4 = - 3 < 0 pas de racine
donc l'affirmation est vraie ; l'équation admet une seule solution x = 1
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