Réponse:
Exercice 2.
1.
Exprimons l'aire du triangle AMN de 2 façons :
Aire = base× hauteur ÷2
En considerant la base [AM] : Aire = AM×y ÷ 2
En considerant la base [AN] : Aire = AN× z ÷ 2
Donc AM×y ÷ 2 = AN× z ÷ 2
Ainsi en multipliant par 2 l'egalite AM×y = AN×z
2.
Les deux triangles BMN et CMN ont une meme base [MN] pour une meme hauteur h
Aire(BMN)= MN×h÷2
Aire (CMN) = MN×h÷2
Donc BMN et CMN ont des aires égales.
3.
Aire(ANB)= Aire(AMN) + Aire(BMN)
Aire(AMC)= Aire(AMN) + Aire(CMN)
Or BMN et CMN ont des aires égales.
Donc Aire(ANB)=Aire(AMC)
4.
Aire(ANB) = AB×y÷2
Aire(AMC)=AC×z÷2
et les 2 aires sont egales d'apres 4.
Donc AB×y=AC×z
5. on a AM×y = AN×z
et AB×y = AC×z
donc AM×y AN×z
--------- = ----------
AB×y AC×z
AM AN
d'où ------- = --------
AB AC
6.
7.
En considérant les triangles CEN, AEB et AMB, on démontrerait de meme que AEC et BNC ont la meme aire donc CN/AC = CE/CB
8a. CN = AC+AN et CE = BC+ BE
AC+AN BC+BE
------------- = ------------
AC BC
8b.
AC+AN BC+BE
------------- = ------------ equivaut à
AC BC
AC AN BC BE
------- + -------- = -------- + --------
AC AC BC BC
8c.
AN BE
1 + -------- = 1 + --------
AC BC
AN BE
d'ou ------- = --------
AC BC
9. On sait que (MN) est parallele à (BE)
et que (EN) est parallèle à (BM)
Donc MNEB est un parallelogramme.
Ses cotés opposés sont égaux 2 à 2 donc MN = EB
10.
AN BE
------- = -------- d'apres 8c. Donc, d'apres 9 :
AC BC
AN MN
------- = --------
AC BC
D'apres la question 5 on a
AM AN MN
------ = ------- = --------
AB AC BC
