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Réponse :
1) déterminer la quantité à partir de laquelle le coût total est supérieur à
4700 €
C(n) = 0.02 n² + 8 n + 500 > 4700 où n ∈ [0 ; 600]
⇔ 0.02 n² + 8 n - 4200 > 0
Δ = 64 + 336 = 400 ⇒ √400 = 20
x1 = - 8 + 20)/0.04 = 300
x2 = - 8 - 20)/0.04 = - 700 ∉ [0 ; 600]
n 0 300 600
C - 0 +
il faut que n ∈ ] 300 ; 600[ pour que le coût total soit supérieur à 4700 €
2) on appelle p le prix de vente (en €) : p(n) = 17.5 n
a) exprimer le bénéfice B(n) en fonction de n et vérifier que
B(n) = - 0.02 n² + 9.5 n - 500
B(n) = p(n) - C(n)
= 17.5 n - 0.02 n² - 8 n - 500
= - 0.02 n² + 9.5 n - 500
b) déterminer algébriquement le nombre d'appareils à fabriquer pour l'entreprise réalise un bénéfice positif ou nul.
B(n) ≥ 0 ⇔ - 0.02 n² + 9.5 n - 500 ≥ 0
Δ = 90.25 - 40 = 50.25 ⇒ √(50.25) ≈ 7
x1 = - 9.5 + 7)/-0.04 = 62.5 ≈ 63
x2 = - 9.5 - 7)/-0.04 = 412.5 ≈ 413
n 0 63 413 600
B(n) - 0 + 0 -
pour n ∈ [63 ; 413] le bénéfice est positif ou nul
3) déterminer p
pour n = 300 le bénéfice est maximal Bmax = 550 €
on sait B(n) = p - C(n) ⇒ p = B(n) + C(n)
C(300) = 4700
p = 550 + 4700 = 5250 €
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