Réponse : Bonjour,
1) Calcul de f(2):
[tex]f(1+1)-f(1)=1\\f(2)-f(1)=1\\f(2)=1+0=1[/tex].
2) Une fonction f polynôme du second degré, est de la forme [tex]f(x)=ax^{2}+bx+c[/tex], avec a, b et c des nombres réels.
[tex]f(0)=0 \Rightarrow a \times 0^{2}+b \times 0+c=0 \Rightarrow c=0\\f(1)=0 \Rightarrow a \times 1^{2}+b \times 1+c=0 \Rightarrow a+b+c=0 \Rightarrow a+b=0 \Rightarrow a=-b\\f(2)=1 \Rightarrow a \times 2^{2}+b \times 2+c=1 \Rightarrow 4a+2b=1 \Rightarrow -4b+2b=1\\\Rightarrow -2b=1 \Rightarrow b=-\frac{1}{2}\\ a=-b \Rightarrow a=\frac{1}{2}\\Donc \; f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}(x^{2}-x)=\frac{1}{2}x(x-1)[/tex].
3) Soit [tex]f(x)=\frac{1}{2}x(x-1)[/tex].
Condition (1): [tex]f(0)=\frac{1}{2} \times 0(0-1)=0[/tex], donc la condition (1) est vérifiée.
Condition (2): [tex]f(x+1)-f(x)=\frac{1}{2}(x+1)x-\frac{1}{2}x(x-1)=\frac{1}{2}(x(x+1)-x(x-1))\\=\frac{1}{2}(x((x+1)-(x-1)))=\frac{1}{2}(x(x+1-x+1))=\frac{1}{2} \times 2x=x[/tex].
Donc la condition (2) est vérifiée.
4) [tex]S_{n}=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+f(4)-f(3)+...+f(n+1)-f(n)\\S_{n}=f(n+1)-f(1)=f(n+1)-0=f(n+1)[/tex].
