Réponse:
1)
[tex] f(1+h)-f(1) = \frac{1}{1 + h} - \frac{1}{1} [/tex]
[tex] f(1+h)-f(1) = \frac{1 - (1 + h)}{1 + h} [/tex]
[tex] f(1+h)-f(1) = \frac{ - h}{1 + h} [/tex]
2)
[tex]lim( \frac{f(1+h)-f(1)}{h} ) =lim( \frac{ - 1}{1 + h} ) = \: - 1\\ h - > 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: h - > 0[/tex]
f est derivable en 1 et f'(1)=-1
3) On montre de la meme maniere que
[tex] f(a+h)-f(a) = \frac{ - h}{a(a + h)} [/tex]
[tex]lim( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} ) =lim( \frac{ - 1}{(a(a + h)} ) = \: \frac{ - 1}{ {a}^{2} } \\ h - > 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: h - > 0[/tex]
Ainsi f est derivable en a avec a appartenant à IR* et f'(a) = -1/a²
Exercice 2
1.
(a+b)³ = (a+b)(a+b)²
= (a+b)(a²+2ab+b²)
= a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³
= a³+3a²b+3ab²+b³
2.
(2+h)³-2³ = 2³+3×2²×h + 3×2×h² + h³ - 2³
= h³+6h²+12h
lim([(2+h)³-2³]/h) = lim[(h³+6h²+12h)/h] = lim(h²+6h+12) = 12
h→0 h→0 h→0
3. (a+h)³-a³ = 3a²h+3ah²+h³
et lim[((a+h)³-a³)/h] = lim(h²+3ah+3a²) = 3a²
h→0 h→0
f est derivable en a et f'(a)=3a²
4.
f est donc derivable en 2 et f'(2)=12
3×2²=2×4=12
Ton enoncé n'est pas clair au niveau de la question 3.
Explications étape par étape:
On dit qu'une fonction f est derivable en a si la limite du taux d'accroissement de f est une valeur finie k. Alors f'(a) = k
On exprime le taux d'accroissement
[tex] \frac{f(a + h) - f(a)}{h} [/tex]
Puis on determine sa limite quand h tend vers 0
