Soit P un point à l'intérieur du triangle équilatéral ABC
Pa, Pb et Pc ses projections sur les côtés BC, AC et BA
1)
triangle BPC : aire = (BC x PPa)/2
triangle APC : aire = (AC x PPb)/2
triangle APB : aire = (AB x PPc)/2
Somme des aires : (égale à celle du triangle ABC)
(BC x PPa)/2 + (AC x PPb)/2 + (AB x PPc)/2 =
(BC x PPa)/2 + (BC x PPb)/2 + (BC x PPc)/2 =
puisque AB = BC = CA (équilatéral)
[BC ( PPa + PPb + PPc)]/2
2)
triangle ABC j'appelle H le pied de la hauteur issue de A
aire ABC = (BC x AH)/2
3)
d'où l'égalité
[BC ( PPa + PPb + PPc)]/2 = (BC x AH)/2
et PPa + PPb + PPc = AH
