Bonjour ;
1.
lim(x--> +∞) (n² + 5n - 1)/(2n + 3)
= lim(x--> +∞) {n²(1 + 5/n - 1/n²)}/{n(2 + 3/n)}
= lim(x--> +∞) n{1 + 5/n - 1/n²}/{2 + 3/n}
Comme lim(x--> +∞) 5/n = 0 ; lim(x--> +∞) 1/n² = 0
et lim(x--> +∞) 3/n = 0;
alors lim(x--> +∞) (1 + 5/n - 1/n²)/(2 + 3/n) = 1/2 .
On a aussi : lim(x--> +∞) n = + ∞ ;
donc lim(x--> +∞) n{1 + 5/n - 1/n²}/{2 + 3/n} = + ∞ ;
donc : lim(x--> +∞) (n² + 5n - 1)/(2n + 3) = + ∞ .
2.
On a : lim(x--> +∞) (20n + 7)/(5n + 2)
= lim(x--> +∞) {n(20 + 7/n)}/{n(5 + 2/n)}
= lim(x--> +∞) (20 + 7/n)/(5 + 2/n) = 20/5 = 4 ;
donc : lim(x--> +∞) √{(20n + 7)/(5n + 2)} = √4 = 2 .
3.
lim(x--> +∞) (3n² + (- 1)^n)/(n² + (- 1)^n)
= lim(x--> +∞) {n²(3 + ((- 1)^n)/n²)}/{n²(1 + ((- 1)^n)/n²)}
= lim(x--> +∞) {3 + ((- 1)^n)/n²}/{1 + ((- 1)^n)/n²} = 3 .
4.
lim(x--> +∞) (3n² + sin(n))/(n + 4)
= lim(x--> +∞) {n²(3 + (sin(n))/n²)}/{n(1 + 4/n)}
lim(x--> +∞) {n(3 + (sin(n))/n²)}/{1 + 4/n} .
On a : lim(x--> +∞) (sin(n))/n² = 0 ;
lim(x--> +∞) 3 + (sin(n))/n² = 3 ;
donc : lim(x--> +∞) (3 + (sin(n))/n²)/(1 + 4/n) = 3 ;
donc : lim(x--> +∞) {n(3 + (sin(n))/n²)}/{1 + 4/n} = + ∞ .
